Théorie des points fixes pour la topologie faible : exercices et problèmes corrigés

En mélangeant son café au lait, le mathématicien Luitzen Ebertus Jan Brouwer remarquait que le point central de la surface du liquide, au milieu du tourbillon créé par le mouvement rotatoire de la cuillère, restait immobile. Donc à tout moment, il y a un point de la surface qui n’a pas changé de place. Il a démontré, en 1911, un important théorème ou résultat de point fixe. Très différent de celui de Picard-Banach, ce théorème du point fixe est le point de départ d’une branche particulière de la topologie, la topologie algébrique. Ses applications et ses généralisations, des équations différentielles à la théorie des jeux, dues à Schauder, Tichonov, Leray, Brouwer, Darbo, Sadovskii, Krasnosel’skii, Nash et Kakutani se sont révélées fondamentales. Récemment, Ben Amar, Jeribi et Mnif ont donné une autre variante du théorème de Schauder et de Krasnoselskii en utilisant la notion de la topologie faible, en premier temps, dans un espace de Dunford-Pettis, en 2005, et en second temps, dans un espace de Banach, en 2008. Ces résultats très intéressants et très fins ont résolu beaucoup de problèmes dans la littérature que l’on ne savait pas résoudre auparavant. Le présent ouvrage est destiné aux étudiants de licence, Master de mathématiques, mathématiques appliquées, aux élèves d’écoles d’ingénieurs, aux chercheurs et aux enseignants-chercheurs. Ce livre comporte un cours et une série d’exercices dont les solutions sont très détaillées sur l’analyse fonctionnelle. Ce livre est une introduction à l’analyse fonctionnelle, il couvre l’essentiel de la topologie forte et la topologie faible traditionnellement enseignées au niveau Licence et Master tout en traitant quelques sujets plus rarement abordés. Des exemples d’applications sont choisis en cinétique des gaz, dynamique des populations, équations intégrales de type Hammerstein et Nemytskii, équations aux dérivées partielles et aux équations de transport neutronique. La théorie des points fixes fait partie des outils de mathématiques appliquées.