Fonctions de Dirac et applications

L’approche fonctionnelle de la théorie des distributions (Schwarz 1945), est actuellement la plus enseignée dans notre pays et à l’étranger. Elle a légitimement valu à son auteur une reconnaissance internationale sanctionnée par l’obtention de la médaille Fields en 1957. Cependant la théorie des distributions est difficile. Par exemple, elle fait appel à de la topologie. Aujourd’hui, on peut lire dans les manuels d’enseignement que les distributions ne sont pas des fonctions mais des entités mathématiques nouvelles en rupture avec les mathématiques de l’analyse classique. On peut alors s’interroger légitimement s’il n’y aurait pas d’autres formulations de la théorie des distributions. Dans ce livre, nous suivons une approche séquentielle de la théorie des distributions (Mikusiński, 1957) qui renonce au concept strict de distribution, n’utilise que des fonctions de l’analyse classique, est plus simple que la théorie de Schwarz.
Parmi les nombreuses applications possibles, nous nous limitons à une présentation élémentaire de la théorie des ondelettes et montrons qu’il est possible de définir des amplitudes et des densités de probabilité en dehors de la mécanique quantique.
En résumé, et pour garder l’esprit un peu provocateur de ce livre, on aurait pu choisir comme titre choc : “Le livre qui remplace les distributions par des fonctions”.

Sommaire
Introduction
1 Fonctions de coupure et Fonctions de Dirac
2 Analyse ondulatoire
3 Équations différentielles
4 Transformation en ondelettes
5 Mécanique quantique (ondulatoire)
Résumé
Annexes
Annexe A Fonctions et distributions
Annexe B Fonction hermitienne
Annexe C Intégration par parties
Annexe D Transformation de Fourier
Annexe E Transformation “tilde”
Annexe F Produits de corrélation et de convolution
Annexe G Calcul opérationnel
Annexe Quelques notations