Geometrie - Anschauung und Begriffe

Dieses Buch behandelt die Geometrie des Anschauungsraums in allen ihren Aspekten. Wie in jedem Teilgebiet der Mathematik geht es darum, das Verborgene auf das Offensichtliche zuruckzufuhren; die Besonderheit der Geometrie ist, dass das Offensichtliche manchmal im wortlichen Sinne vor Augen liegt.Ausgehend von der Anschauung werden raumliche Konzepte in das bereits vorhandene mathematische Gerust der Linearen Algebra und der Analysis eingebettet. Der Weg von der Anschauung zur mathematisch exakten Sprache ist selbst Lerninhalt dieses Buches. Damit soll eine oft beklagte Verstehenslucke geschlossen werden, die sich zwischen der anschaulichen Vorschul- und Schul- Geometrie und den abstrakten Begriffen der Linearen Algebra und Analysis auftut. Zugleich werden damit anschaulich-geometrische Argumentationsweisen gerechtfertigt, weil ihre Einbettung in die strenge mathematische Sprache geklart wurde.Die Begriffe der Geometrie sind von ganz unterschiedlicher Natur; sie bezeichnen sozusagen verschiedene Schichten geometrischen Denkens: Manche Argumente verwenden nur Begriffe wie Punkt, Gerade und Inzidenz, andere benotigen Winkel und Abstande, wieder andere Symmetrie-Uberlegungen. Jedes dieser Begriffsfelder bestimmt ein eigenes Teilgebiet der Geometrie und ein eigenes Kapitel dieses Buches, mit Ausnahme des letztgenannte Begriffsfelds "e;Symmetrie"e;, das alle anderen durchzieht: - Inzidenz: Projektive Geometrie - Parallelitat: Affine Geometrie - Winkel: Konforme Geometrie - Abstand: Metrische Geometrie - Krummung: Differentialgeometrie - Winkel als Abstandsma: Spharische und Hyperbolische Geometrie - Symmetrie: Abbildungsgeometrie.Die im Anschauungsraum erworbene mathematische Erfahrung lasst sich ohne Muhe mit Hilfe des Vektorraum-Begriffs auf sehr viel abstraktere Situationen ubertragen. Die Verallgemeinerungen uber die Anschauung hinaus weisen in zwei Richtungen: Erweiterung des Zahlbegriffs und Uberschreiten der drei anschaulichen Dimensionen.